Grillig Gedrag

In mijn eerste post over dit onderwerp meldde ik dat zo’n systeem van een populatie in een context meestal chaotisch gedrag vertoont en dat de toekomst ervan grillig en niet te exact voorspellen is. Het is niet de bedoeling om het verhaal een mystieke wending te geven (het tegenovergestelde in feite) en daarom gaat deze post over het gedrag van deze catagorie van systemen. Het zit namelijk zo:

Iedere nieuwe situatie (dus volgende generatie) is een direct gevolg van de de vorige en die weer van de vorige en vooruitkijkend is dus iedere situatie de basis voor de volgende. Dat heet een recurrent (of periodiek) systeem: alles wordt gebouwd op ‘de ruïnes’ van de vorige. Voorbeelde zijn generaties van konijnen maar bijvoorbeeld ook opeenvolgende weersituaties van minuut tot minuut. Als er één of ander deteministisch, dus niet toevallig of random, verband is tussen die opeenvolgende situaties, dan is de toekomst van dat systeem in theorie voorspelbaar. Om twee á drie redenen is de praktijk weerbarstiger: de som is te moeilijk en/of onze kennis van het startpunt (hieronder ook wel de beginvoorwaarden genoemd) is niet voldoende bekend, zie hieronder 1) en 2).

1) Moeilijke som
Er is een vereenvoudigde versie van zo’n vergelijking, de Logistic Map, het eerst gepresenteerd door Robert May. Zie ook commentaar van Stephen Wolfram. Die versie gaat zo:

Waarin x_n  de toestand is van een populatie op een bepaald moment als quotient van het danmalige aantal en het maximale aantal exemplaren dat door de context kan worden geherbergd. x_n+1 is de status een generatie later. r Is een instelvariabele die het saldo is van afsterven en voortbrengen in een populatie.

Allemaal ‘gewone’ variabelen dus, geen random generator. Door de variabele r, dus mate van interactie met de context te variëren (zie dat als een stelknop), is dit gedrag te zien:

• Als 0 < r < 1 zal de oorspronkelijke populatie afsterven, ongeacht de beginvoorwaarden
• Als 1 < r < 2 zal de populatie de waarde (r-1) / r bereiken, ongeacht de beginvoorwaarden.
• Dat geldt ook voor 2 < r < 3, zij het dat de populatie eerst een tijdje rond die waarde fluctueert.
• Als 3 < r <  1- 6^^(1/2) (ongeveer 3.44949), oscilleert de populatie tussen 2 mogelijke waarden uit, zelf afhankelijk van de waarde van r, vrijwel ongeacht de beginvoorwaarden.
• Als 3.44949 < r < 3.54409 (ongeveer) oscilleert de populatie tussen 4 waarden, ongeacht de beginvoorwaarden.
• Als r > 3.54409 oscilleert de populatie tussen 8 waarden dan 16, dan 32 etc. Dit gedrag is een voorbeeld van een period-doubling cascade.
• Bij r ongeveer 3.56995 is het startpunt van het chaotische gedrag, op het eind van de periodeverdubbelingen.
• Bij grotere waarden van r is van vrijwel geen enkele beginvoorwaarde een oscillatie met een eindige periode te vinden. Kleine veranderingen in de beginvoorwaarden leveren grote veranderingen in de populaties op.
• Voorbij r = 4 verlaten alle waarden het interval [0,1] en divergeren voor vrijwel alle beginvoorwaarden.
• Zie voor de volledige engelse tekst de link naar Logistic Maps Wikipedia waaruit dit is overgenomen.

Dit verloop wordt samengevat in een zogenaamd bifurcation diagram. Op de horizontale as zijn de waarden van r weergegeven, op de vertikale as de mogelijke waarden van x.

De uitkomsten van een chaotisch systeem volgen een attractor: een dynamisch evenwicht waar ze steeds naartoe bewegen als naar een magneet. Dat kan 1 uitkomst zijn (‘point attractor’), namelijk een statisch evenwicht, of 2 mogelijke uittkomsten of meer. Een chaotisch systeem heeft een periode oneindig. Dat kun je vergelijken met een golfbeweging die in de tijd (met het ontstaan van nieuwe generaties) zich wel lijkt te herhalen, maar dat in feite nooit doet; dat heet een ‘strange attractor’.

Betreft de beginvoorwaarden van hierboven nog dit. Wat de uitkomst precies is in een volgende generatie hangt sterk af van het gekozen startpunt: ‘sensitive dependence on initial conditions’. Een kleine afwijking tussen startpunten heeft een groot gevolg voor de uitkomsten in volgende generaties, omdat de één op een heel andere plaats op die ‘strange attractor’ kan landen dan een dichtbij gelegen startpunt.

Dit bifurcation diagram is zelfgelijkvormig (self-similar) of fractaal: als je bijvoorbeeld inzoomt op de waarde r = 3.82843 en naar één arm van de ‘boom’, dan is het ingezoomde en uitvergrote gedeelte van het diagram identieke aan het gehele oorspronkelijke diagram. Dat geldt voor alle chaotische punten. Via attractors is er een verband tussen chaotisch gedrag van systemen en fractals.

Het boven beschreven gedrag is hier dynamisch weergegeven in een GIF filmpje, waarbij de waarde voor r stapsgewijs toeneemt (de vorm van de grafiek verandert dan). De waarde voor is op de x-as weergegeven en die van op de y-as. Omdat het een recurrente vergelijking is, wordt de waarde van x op tijdstip n+1 via de lijn x = y weer op de x-as geprojecteerd als startpunt voor de volgende generatie.

Het aantal mogelijke waarden oscilleeert eerst tussen één of meerdere waarden. Daarna ‘explodeert’ het aantal mogelijke waarden via een cascade van periode verdubbelingen. Voor later gebruik: de fractale dimensie is, afhankelijk van de gebruikte berekeningsmethode, circa 0,5. Die moet meer zijn dan 0 (een punt) en, omdat dit slagveld zich voltrekt op een beperkt domein, minder dan 1. De betekenis van een fractale dimensie is een ratio die een statistiche index geeft van de complexiteit van het gedrag van het beschreven systeem.

De lengtes van de afstanden tussen de periodeverdubbelingen vermindert met (ongeveer) de Feigenbaum constante, ongeveer δ = 4.66920. Stel je weet dat een systeem chaotisch is en je kent de plaats van de eerste ‘bifurcation’ dan weet je ook de plaats van alle andere periodeverdubbelingen en waar het systeem chaotisch wordt.

Het is niet mogelijk te voorspellen in welke staat het chaotische systeem (dus aan de rechterkant van de bifurcation grafiek) zich op een bepaald moment exact bevindt. Als een dynamisch systeem echter een attractor heeft dan is het wel mogelijk om een waarschijnlijkheidsverdeling te maken van de regio’s op de attractor waar het systeem zich in de tijd bevindt. Ook al is er dus weinig bekend van de beginvoorwaarden en kunnen we niet weten waar het zich exact zal bevinden, dan hebben we tenminste nog de waarschijnlijkheden over waar het systeem op termijn zal zijn. Dat onderscheidt chaotische systemen van random systemen, want in dat laatste geval kunnen we zelfs dat niet.

2) De beginvoorwaarden zijn niet bekend (of er is een meetfout)
Dit is het ‘butterfly effect’ dat ik noemde in de eerste post. Dit is in 1963 ontdekt door Edward Lorentz, een metereoloog. Hij vond onverklaarvare afwijkingen in de computerberekeningen en wat hij dacht dat de resultaten ongeveer zouden moeten zijn. Dit gaat dus over de kennis van het startpunt.

Stel de relatie tussen generaties is een vaste factor, we noemen hem A. Dus generatie2 = generatie1 x A. generatie3 = generatie2 x A = generatie1 x A x A en zo voort. Stel we hebben een meetfout of we weten het startpunt niet echt goed. Ter illustratie: A is in feite 1,22384756968476 maar wij meten 1,22384756968475. Het verschil is dan 1,99840144432528E-014.

Het verloop van de werkelijkheid, echte generaties dus, en dat van de voorspelling, de berekende generaties, is als volgt, ik laat het alleen zien tussen de 9-de en de 17-de generatie, de bovenste regel is de generatie, de 2-de rij een weergave van ‘de werkelijkheid’, de 3-de rij de uitkomsten op basis van de gebruikte (verkeerde) beginwaarde en de onderste rij de ontwikkeling van het verschil tussen die twee:

Dus dat verschil, dat eerst 14 cijfers achter de komma klein was, explodeert 16 generaties later tot een afwijking van 33 (op een beginwaarde van 1). De voorspelling wordt overschaduwd door de meetfout van generatie op generatie en wordt vanzelf waardeloos. Die meetfout treedt bijvoorbeeld ook op door de afronding die computers toepassen op gegevens. Hoe exact de meting of weergave dus ook is, na een handvol generaties is het berekende resultaat anders dan de werkelijkheid. Je kunt je voorstellen dat een weersvoorspelling, bij een minuut-op-minuut voorspelling, na tien minuten al geen waarde meer heeft en dat ook een berekende dierenpopulatie (het vossen en konijnen voorbeeld) al snel niet meer aansluit bij de werkelijkheid.

De portéé van dit verhaal is te illustreren hoe een eenvoudig systeem met deterministische variabelen, als het zich generatie na generatie herhaalt, onverwacht gedrag kan gaan vertonen. De moraal is dat we alleen in staat zijn om te voorspellen hoe zo’n systeem van deze categorie zich gedraagt, als de regels van dat systeem echt goed bekend zijn, als we het startpunt exact weten en geen meetfouten maken. Dat is niet mogelijk en het wordt ook niet mogelijk, want de natuur houdt geen rekening met meetfouten en afrondingsverschillen. Dus dan moet het voorspellen beperkt blijven tot korte termijnen en van het type waarschijnlijkheidsverdelingen blijven.

Met het risico dat ik van antropomorfie (of enterpremorfie als het over bedriijven gaat) wordt beschuldigd, vind ik dat de vaste perioden een te statisch karakter hebben en als het chaotisch is dan lijkt het me té ongeorganiseerd om iets voort te kunnen brengen, zoals één of andere vorm van organisatie en een regelmatig product, laat staan iets nieuws. En juist dat zijn bij uitstek kenmerken van ondernemingen (een organisatie), waarvan het bestaansrecht is dat ze af en toe iets nieuws voortbrengen. Er vanuit gaande dat je een onderneming ook in zo’n algoritme zou kunnen vangen (dat mag), vraag ik me af of ik in de goede richting zoek. En zo nee, moet ik dan naar een andere categorie systemen kijken of naar andere waarden van r? Dus: kan je die r (in het juiste systeem dan) zo pesten dat hij ergens tussen die statische en chaotische situaties blijft?

Want eigenlijk zoek ik iets ertussenin: er is een element van (zelf)organisatie en statisch gedrag en tegelijkertijd is er een element van chaotisch (zoals het woord hier wordt gebruikt) gedrag, dat vernieuwing oplevert. Een soort steeds veranderend evenwicht tussen staan en vallen. En een mooie uitkomst lijkt me dat je een ‘Feigenbaum-knop’ in je kantoor hebt, waarmee je via de fractale dimensie kan instellen hoe chaotisch het vandaag weer gaat worden.

Het is dus nog niet klaar: wordt vervolgd!