Kans, Tijd en Orde

In eerdere posts is het begrip entropie voorbij gekomen. En in het verlengde daarvan is het begrip tijdpijl (‘arrow of time’) besproken. Het verband tussen die begrippen is dat de tijdpijl in de richting wijst van toenemende entropie, oftewel van de entropieproductie. Entropie wordt geassocieerd met toenemende chaos en afnemende structuur, maar de correcte omschrijving is de richting van een onomkeerbaar proces.

Dat is een proces waarvan de toekomst anders is dan het verleden. Dat is op zich al een bron van discussie, want alle (overige) natuurwetten – de wetten waaraan alle fysische processen en overal in het universum moeten voldoen, zoals quantum theorie, klassieke mechanica en relativiteit – zijn wel omkeerbaar in de tijd. Dat betekent dus dat het verleden en de toekomst daarvan uitwisselbaar zijn als je de tijd omdraait. De essentie van dit verschil is dat er is geen kans element in het spel is, maar we kennen gewoon nog niet alle bouwstenen. Dit levert de tijdparadox op: hoe kunnen tijdomkeerbare natuurwetten niet-omkeerbare processen opleveren? Uiteindelijk is de vraag of we (mensen dus) automaten zijn, die door deterministische wetten worden voortgedreven of dat we daar zelf ook nog iets over te zeggen hebben.

En de essentie daarvan is weer dat de dynamica van natuurlijke processen niet met voldoende precisie kan worden gemeten of kan worden berekend. En dat zal ook nooit gebeuren, omdat de natuur zich niets aantrekt van afrondingsfouten of cijfers achter de komma. Meting en verwerking kunnen die precisie per definitie niet kunnen bereiken. Ieder foutje in de meting of de verwerking levert in recursieve processen snel exponentiële verschillen in de uitkomsten op, waardoor de afwijkingen mogelijk al snel de orde bereiken van de feitelijke voorspellingen, ze overschaduwen en die voorspellingen zelf waardeloos maken. Voor de puristen onder ons is dat al controversieel, want de vraag is of je je erbij neer moet leggen dat de natuur zich niet laat meten of berekenen. En in het verlengde daarvan: of het (opnieuw: quantummechanica) de aanwezigheid c.q. de tekortkomingen van de observator zijn die leiden tot aanpassingen aan of afwijkingen van de werkelijkheid. Of aan de andere kant: dat dat blijkbaar zo is en dat we dat onder ogen moeten zien.

The Bold and The Beautiful
Deze post is een weergave van wat ik instrumenteel vind voor gebruik in dit blog van ‘The End of Certainty’ van wijlen Ilya Prigogine (een vrije worsteling is misschien een betere omschrijving), tenzij anders aangegeven. Ook Prigogine steekt zijn nek ver uit, want hij doet een poging om een brug te slaan tussen de belangrijke en bewezen natuurwetten onderling en met de tweede wet van de thermodynamica. Die is veelvoorkomend, maar in zekere zin een machtige demi-god (of zo wordt gezien), en hij voegt iets elementairs toe aan een discussie over tijd en (niet-)omkeerbaarheid van processen die al eeuwen door allerlei vooraanstande  wetenschappers wordt gevoerd. Zo was Einstein naar beweerd wordt not amused toen Gödel aantoonde dat Einstein best zijn eigen vader zou kunnen zijn door diens eigen gevolgtrekking (kortweg: tijd is een illusie) in het extreme door te voeren. En dat is, behalve in de sitcom The Bold and the Beautiful (Ridge is waarschijnlijk meerdere keren zijn eigen voorouders), ook verder nog niet in de praktijk gebracht. Hoe het ook zij, ik heb geprobeerd de essentie van de theorie weer te geven en heb een aantal gevolgtrekkingen voor de quantum theorie, voor de klassieke mechanica en voor de relativiteitstheorie achterwege gelaten.

De stand van zaken is dat natuurwetten uitgaan van de banen (‘trajectories’) en snelheden (of eigenlijk momentum) van individuele deeltjes en in het geval van quantum dynamica van golven. Het object is een individueel deeltje.  Door naar deze kenmerken van individuele deeltjes te kijken kun je niet weten of het zich in een gas of in een vloeistof bevindt. Bovendien is het op basis daarvan niet weetbaar hoe die kenmerken zich ontwikkelen tijdens een fase overgang, dus bijvoorbeeld van een gas naar een vloeistof of vice versa. In andere woorden: om de dynamica van een systeem te begrijpen, is het noodzakelijk om ook de samenhang tussen de deeltjes in ogenschouw te nemen. En dus is het noodzakelijk om naar een groep (populatie) van deeltjes te kijken, een ensemble, in plaats van naar één enkel.

Poincaré
Het verschil tussen het opgetelde gedrag van een aantal deeltjes en het gedrag van een groep deeltjes (samen) wordt verklaard door de zogenaamde ‘Poincaré resonances’. Dat zijn de koppelingen tussen vrijheidsgraden van de verschillende deeltjes in een dynamisch systeem, waardoor de posities in de faseruimte van, initieel naburige, deeltjes exponentieel uiteen gaan lopen. Dat is te vergelijken met de invloed die de trillingen van één snaar hebben op het geluid van een andere snaar als die trilling in de buurt van de eigenfrequentie daarvan komt. Wiskundig gezien is het gevolg van die resonanties dat het systeem niet-integreerbaar is, dus dat het niet tot kleinere deelsystemen kan worden gereduceerd. Integreerbare systemen daarentegen leveren een statische, deterministissche wereld op terwijl niet-integreerbare systemen in staat zijn om niet-omkeerbaarheid, self-organisation en het leven zelf te produceren.

Kologorov, Arnold en Moser hebben een theorie ontwikkeld (KAM theorie) die de invloed van resonanties op banen van deeltjes in een faseruimte beschrijft. In sommige plaatsen in de fase ruimtes van dynamische systemen is sprake van resonanties en in andere niet. Waar sprake is van resonanties is het gedrag van de betrokken deeltjes chaotisch en anders niet. Als de toevoer van energie aan het dynamisch systeem wordt verhoogd dan neemt het aantal regionen in het systeem, waar chaotische gedrag waar te nemen is, toe. Als er volledig ontwikkelde chaos is dan wordt dat geassocieerd met diffusie, dat in een onomkeerbaar proces entropie oplevert.

Ter illustratie van onomkeerbaarheid van processen voert Prigogine ons verouderingsproces aan. Op onze tijdschaal zijn atomen en moleculen, waaruit ons lichaam bestaat, onsterfelijk. Wat in de tijd verandert is de relatie tussen die atomen and moleculen. Hieruit volgt  de conclusie dat veroudering een kenmerk is van populaties en niet van individuen. Dat geldt overigens ook voor levenloze objecten.

Negatieve entropie
Erwin Schrödinger concludeert in zijn boek ‘What is Life?’ dat Leven gevoed wordt door een negatieve entropie productie. Uitgangspunt is dat Leven geassocieerd wordt met entropie en met onomkeerbare processen. De vraag is dan hoe structuur kan ontstaan in een niet-evenwicht (in feit een ver-uit-evenwicht) situatie. Prigogine neemt ter illustratie het voorbeeld van een stad: in tegenstelling tot een systeem in evenwicht zoals een kristal, kan een stad niet bestaan als zij wordt geïsoleerd van haar omgeving. De reden is dat de structuur het gevolg is van de functie ervan, namelijk de structuur van een stad is het gevolg van de interacties van die stad met de omgeving.

Een ander voorbeeld, dat minder aan de fantasie overlaat, is een Belousov-Zhabotinski chemische reactie. Dat is een combinatie van chemische stoffen die voorbij een bepaalde verhouding (een bifurcation point) een chemische oscillatie laten zien, namelijk continu veranderende regelmatige kleurpatronen van de oplossing. De betekenis daarvan is dat enorme aantallen moleculen tegelijkertijd van kleur veranderen (zonder centrale regie) en dat die kleuren zichtbaar oscilleren. Dit systeem is chemisch gezien ver uit evenwicht en brengt toch structuur voort.

Dissipatieve systemen en bifurcations
Prigogine stelt dat voorbij een bifurcatie (dus in dit voorbeeld een bepaalde verhouding van chemische substanties) de eigenschappen van het systeem (in dit voorbeeld de oplossing) radicaal kunnen veranderen. Hij noemt de ontstane ruimte-tijd structuren (‘spatiotemporal’) dissipatieve structuren en de systemen dissipatieve systemen. De condities voor het ontstaan ervan zijn: 1) far from equilibrium en 2) katalytische stappen zoals het ontstaan van een intermediaire stof Y uit X parallel aan de productie van X uit Y.

In de bifurcatie ‘kiest’ het systeem één van de mogelijke opties, zonder dat dat op macro niveau is vastgelegd of voorgeschreven. Omdat het systeem niet ‘kiest’ en omdat het niet voorgeschrven is, kan het uitsluitend een probabilistische situatie zijn. Omdat die ‘keuze’ is gemaakt, misschien is het beter om van een achteraf gebleken voorkeur te spreken, en het systeem het bifurcatiepunt voorbij is, is het verleden anders dan de toekomst en is het proces onomkeerbaar. In de woorden van Prigogine: ‘Bifurcations are the manifestation of an intrinsic differentiation between parts of the system itself and the system and its environment (non-integrability, DB). Once a dissipative system is formed, the homogeneity of time (as in oscillatory chemical reactions) or space (as in non-equilibrium Turing structures), or both, is broken.’.

Orde op micro-niveau: correlatie flow
Wat gebeurt er op het micro-niveau van de deeltjes? Als er twee Urnen zijn en twee kleuren ballen en er vindt random onafhankelijke trekking plaats dan is de distributie functie rho(x1, x2), waarin x1 en x2 de verschillende kleuren zijn. Als de trekking onafhankelijk is en er dus geen relatie is tussen de trekking van een bal van de ene of een bal van de andere kleur, dan is rho(x1, x2) = rho(x1) . rho(x2) : de waarschijnlijkheidsverdeling van het systeem is het product van de waarschijnlijkheden van ieder van de twee kleuren.

Als dat niet het geval is dan is er een correlatie tussen de trekking van de ballen van de verschillende kleuren. Als gas deeltjes in een vat zitten opgesloten en er botsen er twee dan ontstaat er op twee manieren meer structuur dan voor de botsing: de verdeling van de snelheden wordt meer symmetrisch en er ontstaan correlaties zoals hierboven beschreven. In andere woorden: zoals in een botsing van biljardballen bestaat er een relatie tussen de positie en de hoek waarin ze uit elkaar gaan na de botsing. En als die beide deeltjes opnieuw botsen met nummer 3 en 4, dan wordt die structuur gepropageerd en zovoort. Dit proces van het propageren van die structuur heet disseminatie en levert een flow van correlaties op. Dit proces kan worden omgekeerd en voor een korte periode wordt de correlatieflow vernietigd, om daarna via hetzelfde proces als hierboven beschreven weer opnieuw correlaties ‘te gaan maken’, zij het anders dan hierboven beschreven. Vanwege de Poincaré resonanties leiden de dynamische processen tot correlaties op relatief grote afstanden, zelfs als de krachten tussen de deeltjes slechts op een korte afstand invloed hebben.

We zijn afgeweken van de individuele banen om naar groepen deeltjes, ensembles, te kijken. Aangezien er een correlatie is tussen de snelheid en de plaats van de deeltjes in de ensemble is een probabilistische benadering in orde. Visueel is het verschil tussen individuele banen en de waarschijnlijkheidsverdelingen groot: de positie van de deeltjes in de fase ruimte is chaotisch, terwijl de waarschijnlijkheidsverdelingen naar een constante naderen. Kortweg: instabiliteit op het niveau van individuele deeltjes levert stabiel gedrag van de ensemble op en het gedrag van de beschrijving van de individuele deeltjes is niet langer equivalent met de statistische beschrijving van het gedrag van de ensemble. Een beschrijving van de baan is nog steeds mogelijk als de beginvoorwaarden (initial conditions) van het deeltje bekend zijn met oneindige precisie. Zoals hierboven gezegd is er vrijwel geen realistische situatie bekend waarin dat voorkomt.

Een reactie tussen CO en O2 die leidt tot CO2 kan met een metalen plaat als katalyst worden versneld. Als gevolg daarvan wordt de entropie in een vat met katalyst groter dan in een vat zonder. Als we de toename van entropie associëren met de tijdpijl dan lijkt de tijd in de vaten te verschillen.  De tijdpijl is afhankelijk van de Poincaré resonanties, die weer van de dynamica van het systeem afhankelijk zijn. En die verandert door de introductie van de katalyst in dit voorbeeld. De conclusie is dat de aan de entropie(productie) gerelateerde tijd in de systemen dezelfde kant op wijst, maar dat die beide tijden niet noodzakelijk met elkaar of aan de kloktijd gesynchroniseerd zijn. Een tijd die gemiddeld wordt over alle entropische tijden in het universum zou weinig informatie geven, vanwege de sterk variërende entropieproductie van de deelsystemen. Prigogine zegt hierover: ‘Irreversibility, and therefore the flow of time, starts at the dynamical level. It is amplified at the macroscopic level, then at the level of life, and finally at the level of human activity.’.

Ja dus?
We kunnen gerust zijn: we zijn geen automaten. Omdat er een element van kans is, is niet alles voorspelbaar c.q. van tevoren bekend en is dus niet ons hele levenspad bij onze geboorte uitgestippeld. We kiezen, hebben inspraak in onze handelingen en we hebben een bepaalde mate van autonomie.

Prigogine stelt voor dat het ontstaan van het universum een entropisch proces is en dat tijd dus ouder is dan het heelal. Het ontstaan en het uitdijen van het heelal is een dynamisch proces dat ver-uit-evenwicht is en het ontstaan van massa uit energie is onomkeerbaar. Hij komt ook tot de conclusie dat tijd overal in het universum is, zij het niet in gelijke mate: het entropische tijdsverloop is gelijk per deelsysteem maar de kloktijd kan verschillen. Hij concludeert verder dat tijd altijd en in het hele universum in dezelfde richting wijst, namelijk die van de entropieproductie. Tijden in verschillende deelsystemen bewegen in gelijke richting gezien vanuit een gemeenschappelijk referentiekader.

Als een dynamisch proces in evenwicht is dan is de entropie productie 0 en de tijd ‘staat stil’. Er is in werkelijkheid vrijwel geen dynamisch proces dat in evenwicht is en sterker nog: de meerderheid van alle dynamische processen zijn ver-uit-evenwicht. Op de manier zoals hierboven geschreven (correlatieflow) ontstaat er een verschil tussen heden en verleden, het proces is onomkeerbaar, er ontstaat een geschiedenis. Er is dan entropie productie, er is tijd en de tijdpijl wijst in de richting van onomkeerbaarheid.

In ver-uit-evenwicht dynamische systemen wordt entropie geproduceerd en bovendienn ontstaan er structuren, zelf organisatie en emergent behaviour. Dat strookt niet helemaal met de indruk die het begrip toenemende entropie geeft, namelijk dat alles uiteindelijk een grijze lauwe soep wordt. Parallel daaraan ontstaat er onomkeerbare structuur in het systeem, er is een negatieve entropie productie (dat is de Rising Flow van Kelly, zie de gelijknamige post in dit blog), die ‘gevoed wordt’ door de energie die beschikbaar komt uit de entropie productie in het systeem. Die structuren die ontstaan in ver-uit-evenwicht dynamische systemen zijn uiteindelijk in staat om leven voort te brengen.

Helaas is het dus niet zo dat in de buurt van die ontwikkelende structuren waar de entropie productie negatief is, er ‘pockets van tijd in tegengestelde richting’ zijn. De essentie is dat de processen die entropie produceren onomkeerbaar zijn en tot voor kort was de wetenschap gericht op evenwichtsituaties. De overtuiging was dat niet-evenwichtsituaties alleen chaos en grijze soep opleverden. In toenemende mate is duidelijk dat dat niet het geval is en daar dit boek aan bij.

Dit is in zoverre relevant voor mijn onderzoek dat Prigogine een alternatief geeft voor zuiver determinisme en plaats maakt voor probabilisme, gefundeerd in het meest elementaire niveau. Dat draagt bij aan mijn fundament voor een management science (toegegeven dit is daarvoor wel heel fundamenteel) en het wegnemen van veronderstellingen over dynamische systemen en complexiteit en het vergroten van de wetenschappelijkheid ervan.

Belangrijker is dat ik in mijn blog een nogal evolutionaire benadering van het probleem genomen, alsof evolutie de enige manier is om orde te genereren. Dat is niet het geval: op een fysisch niveau ontstaat al spontaan orde in ver-uit-evenwicht dynamische systemen. Die orde is als het ware input voor evolutionaire processen, de bouwstenen waarmee al dat moois om ons heen wordt gemaakt.

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

Deze website gebruikt Akismet om spam te verminderen. Bekijk hoe je reactie-gegevens worden verwerkt.